Friedman-Test einfach erklärt: Voraussetzungen, R-Beispiel und Post-hoc-Tests

Was ist der Friedman-Test?

Der Friedman Test ist ein nichtparametrischer Rangtest für drei oder mehr verbundene Stichproben. Typischerweise werden dieselben Personen zu mehreren Zeitpunkten gemessen oder unter mehreren Bedingungen untersucht. Die Person bildet dabei einen sogenannten Block. Auch andere Blockstrukturen sind möglich, etwa wenn mehrere Verfahren jeweils auf denselben Datensätzen verglichen werden.

Der Test beantwortet eine globale Frage: Gibt es Hinweise darauf, dass sich die Bedingungen in ihren Ranglagen unterscheiden? Wenn das Ergebnis signifikant ist, können Sie mit gezielten paarweisen Vergleichen untersuchen, zwischen welchen Zeitpunkten oder Bedingungen die Unterschiede liegen.

Typische Anwendungsfälle

• Medizin: Dieselben Patientinnen und Patienten geben ihren Symptomscore bei drei Visiten an.
• Psychologie: Jede Person bearbeitet eine Aufgabe unter drei verschiedenen Bedingungen.
• Marktforschung: Dieselben Teilnehmenden bewerten drei Produktvarianten auf einer geordneten Skala.
• Datenanalyse: Drei Prognoseverfahren werden anhand derselben unabhängigen Vergleichseinheiten bewertet.

Entscheidend ist die Zuordnung der Messwerte. Wenn drei verschiedene Personengruppen jeweils nur einmal gemessen wurden, handelt es sich um unabhängige Stichproben. Für einen rangbasierten Vergleich kommt dann eher der Kruskal-Wallis-Test infrage.

Wie funktioniert er?

Der Friedman-Test vergibt Ränge innerhalb jedes Blocks. Bei drei Messzeitpunkten erhält der kleinste Wert einer Person Rang 1, der mittlere Rang 2 und der größte Rang 3. Bei gleichen Werten werden die betreffenden Ränge gemittelt.

Diese Rangbildung wird für jede Person wiederholt. Danach werden die Ränge je Zeitpunkt zusammengefasst. Liegen die Werte zu einem bestimmten Zeitpunkt bei vielen Personen am unteren Ende ihrer jeweiligen Rangfolge, fällt die Rangsumme dieses Zeitpunkts entsprechend niedrig aus.

Die Nullhypothese besagt, dass die Bedingungen nach Berücksichtigung der Blöcke denselben Lageparameter haben, wie es die R-Dokumentation formuliert. Für die praktische Interpretation ist entscheidend, dass der Test mit Ranglagen arbeitet. Er ist daher kein allgemeiner Test auf Gleichheit der Mediane. Die übliche asymptotische Ausgabe verwendet eine Chi-Quadrat-Approximation mit k − 1 Freiheitsgraden, wobei k die Zahl der Bedingungen bezeichnet. Bei drei Zeitpunkten sind es zwei Freiheitsgrade.

Welche Voraussetzungen hat er?

1. Verbundene Beobachtungen: Die Messwerte müssen sich eindeutig derselben Person oder einem anderen Block zuordnen lassen.
2. Unabhängige Blöcke: Die Personen oder sonstigen Blöcke sollen voneinander unabhängig sein. Die Abhängigkeit der Messwerte innerhalb einer Person gehört dagegen zum Design.
3. Mindestens ordinales Skalenniveau: Die Werte müssen sinnvoll geordnet werden können. Ungeordnete Kategorien wie Blutgruppen eignen sich dafür nicht.
4. Ein Wert pro Block und Bedingung: Die Standardvariante benötigt für jede Person genau einen Messwert je Zeitpunkt. Doppelte Messwerte oder mehrere Beobachtungen innerhalb einer Visite erfordern eine fachlich begründete Auswertungsstrategie.
5. Vollständige Blöcke: Für die Standardauswertung benötigt jede analysierte Person einen Wert zu allen verglichenen Zeitpunkten.

Der Friedman-Test setzt keine Normalverteilung voraus. Die Methodenwahl sollte sich trotzdem an der Fragestellung orientieren. Wenn beispielsweise die Größe einer Veränderung in Punkten oder der Unterschied zwischen zwei Behandlungsverläufen geschätzt werden soll, kann ein Modell für Messwiederholungen passender sein.

Was tun bei fehlenden Messwerten?

Fehlt einer Person die Messung in Woche 12, fehlt für diese Person ein Teil der Rangfolge. In der Standardauswertung wird der Block deshalb aus dem Drei-Zeitpunkte-Vergleich ausgeschlossen. Geben Sie an, wie viele Personen vollständig vorliegen, wie viele ausgeschlossen wurden und ob sich Ausfälle an bestimmten Zeitpunkten häufen.

Wenn vor allem Personen mit anhaltend hohen Symptomwerten ausfallen, kann die Auswertung vollständiger Fälle ein verzerrtes Bild vermitteln. Je nach Skalenniveau und Fragestellung kommt dann ein Modell infrage, das die vorhandenen Messungen einbezieht, etwa ein lineares oder ordinales Mixed Model. Welche Aussagen damit möglich sind, hängt auch von den Annahmen über die fehlenden Werte ab.

Friedman-Test in R berechnen: Beispiel mit drei Messzeitpunkten

Im folgenden fiktiven Beispiel beantworten dieselben zwölf Personen zu drei Zeitpunkten einen Fragebogen zu ihren Symptomen. Höhere Werte stehen für stärkere Beschwerden. Jede Zeile enthält die drei Messungen derselben Person. Diese Zuordnung muss bei der Aufbereitung und bei den Nachtests erhalten bleiben.

1. Daten eingeben und beschreiben

daten <- data.frame(
  id         = 1:12,
  Baseline   = c(15, 18, 13, 22, 17, 20, 14, 19, 16, 21, 12, 18),
  Woche_4    = c(14, 16, 13, 19, 18, 18, 13, 17, 15, 19, 13, 16),
  Woche_12   = c(12, 15, 11, 18, 16, 17, 12, 18, 14, 17, 11, 15)
)

zeitpunkte <- c("Baseline", "Woche_4", "Woche_12")
vollstaendig <- complete.cases(daten[zeitpunkte])
werte <- as.matrix(daten[vollstaendig, zeitpunkte])

c(
  insgesamt = nrow(daten),
  analysiert = nrow(werte),
  ausgeschlossen = sum(!vollstaendig)
)

t(apply(werte, 2, function(x) {
  quantile(x, probs = c(0.25, 0.50, 0.75))
}))

Die Mediane beschreiben die Verteilung zu jedem Zeitpunkt. Eine Verlaufsgrafik mit verbundenen Messpunkten zeigt zusätzlich, ob sich die Werte bei den meisten Personen ähnlich verändern oder einzelne Verläufe vom Gesamtbild abweichen.

2. Globalen Friedman-Test durchführen

friedman <- friedman.test(werte)
friedman

Das Ergebnis lautet χ²(2) = 18,17, p < 0,001. Die Ranglagen der Symptomwerte unterscheiden sich im globalen Vergleich statistisch signifikant. Ob beispielsweise Woche 4 und Woche 12 voneinander abweichen, prüfen Sie mit einem eigenen gepaarten Vergleich.

Bei Daten im Long-Format lautet die entsprechende Formel friedman.test(wert ~ zeitpunkt | id, data = daten_long). Der Teil hinter dem senkrechten Strich gibt an, welche Zeilen zu derselben Person gehören. Die übergebenen Daten müssen auch hier vollständige Blöcke mit genau einem Wert pro Person und Zeitpunkt bilden. Weitere Details stehen in der R-Dokumentation zu friedman.test().

3. Kendall’s W als Effektgröße berechnen

Kendall’s W beschreibt, wie stark die Rangfolgen der Bedingungen über die Blöcke hinweg übereinstimmen. Der Wert liegt zwischen 0 und 1. Ein höherer Wert steht dafür, dass die Bedingungen bei den einzelnen Personen häufiger in ähnlicher Reihenfolge liegen. Für den Friedman-Test berechnet sich W aus der Teststatistik, der Zahl der vollständigen Blöcke und der Zahl der Bedingungen.

n <- nrow(werte)
k <- ncol(werte)

kendall_w <- unname(friedman$statistic) / (n * (k - 1))
round(kendall_w, 2)

Im Beispiel beträgt Kendall’s W = 0,76. Die Rangfolgen der drei Zeitpunkte stimmen über die Personen hinweg recht stark überein. Für die praktische Bedeutung der Veränderung brauchen Sie zusätzlich Kennwerte in der Einheit des Scores. Ein hohes W kann auch auftreten, wenn sich die Werte bei vielen Personen gleichgerichtet, aber nur um wenige Punkte verändern.

Welche Post-hoc-Tests folgen auf den Friedman-Test?

Für paarweise Vergleiche von Scores mit sinnvoll interpretierbaren Differenzen sind gepaarte Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Tests eine gängige Option. Sie berücksichtigen sowohl das Vorzeichen als auch den Rang des Betrags der paarweisen Differenzen. Bei drei Zeitpunkten ergeben sich drei Paarvergleiche. Die Holm-Korrektur berücksichtigt, dass mehrere Hypothesen in derselben Testfamilie geprüft werden.

paare <- combn(colnames(werte), 2, simplify = FALSE)

post_hoc <- do.call(rbind, lapply(paare, function(paar) {
  frueher <- werte[, paar[1]]
  spaeter <- werte[, paar[2]]

  test <- wilcox.test(
    spaeter, frueher,
    paired = TRUE,
    exact = FALSE,
    correct = TRUE
  )

  data.frame(
    Vergleich = paste(paar[2], "minus", paar[1]),
    Median_Differenz = median(spaeter - frueher),
    p_roh = test$p.value
  )
}))

post_hoc$p_holm <- p.adjust(post_hoc$p_roh, method = "holm")
post_hoc

Alle drei Vergleiche sind in dieser Beispielrechnung nach Holm-Korrektur auf dem 5%-Niveau signifikant. Die negativen Medianwerte beschreiben die Richtung der beobachteten Veränderungen. Berechnet wird jeweils erst die Differenz pro Person und dann deren Median. Dieser Kennwert kann von der Differenz der beiden separat berechneten Gruppenmediane abweichen.

Der Code verwendet zur Illustration eine Normalapproximation mit Kontinuitätskorrektur. Bei kleinen Stichproben, vielen Rangbindungen oder zahlreichen Null-Differenzen sollten Sie die Eignung der Approximation prüfen und gegebenenfalls ein passendes exaktes oder permutationsbasiertes Verfahren verwenden. Die übliche Interpretation des Vorzeichen-Rang-Tests als Test einer Lageverschiebung setzt eine symmetrische Verteilung der Differenzen voraus. Sind bei einer rein ordinalen Antwortskala nur die Richtungen der Veränderungen sinnvoll interpretierbar, kann ein gepaarter Vorzeichentest eine Alternative sein. Die R-Dokumentation zu wilcox.test() erläutert die jeweiligen Optionen.

Wie berichtet man die Ergebnisse?

Im Methodenteil geben Sie an, welche Zeitpunkte oder Bedingungen verglichen wurden, wie Sie fehlende Messwerte behandelt haben und welche Nachtests und Korrektur Sie eingesetzt haben. Im Ergebnisteil gehören die analysierte Fallzahl, die deskriptiven Kennwerte, die Teststatistik mit Freiheitsgraden, der p-Wert und möglichst eine Effektgröße in die Darstellung. Für die Nachtests berichten Sie zusätzlich die jeweiligen Kontraste und adjustierten p-Werte.

Formulierungsbeispiel für den Ergebnisteil

Für zwölf Personen lagen Symptomwerte zu allen drei Messzeitpunkten vor. Die Medianwerte betrugen 17,5 zu Studienbeginn, 16 in Woche 4 und 15 in Woche 12. Der Friedman-Test zeigte einen Unterschied zwischen den Messzeitpunkten, χ²(2) = 18,17, p < 0,001, Kendall’s W = 0,76. Gepaarte Wilcoxon-Nachtests ergaben nach Holm-Korrektur niedrigere Werte in Woche 4 und Woche 12 gegenüber Studienbeginn sowie in Woche 12 gegenüber Woche 4. Die adjustierten p-Werte betrugen 0,0162, 0,0070 und 0,0106.

Das Ergebnis beschreibt eine Veränderung innerhalb der beobachteten Gruppe. Wenn alle dieselbe Maßnahme erhielten, liefert der Friedman-Test allein keinen Nachweis dafür, dass die Maßnahme die Veränderung verursacht hat. Auch der zeitliche Verlauf ohne Behandlung oder eine Regression zur Mitte können zum beobachteten Muster beitragen.

Friedman-Test oder ein anderes Verfahren?

Bei einer Studie mit Interventions- und Kontrollgruppe lautet die zentrale Frage oft, ob sich die Veränderungen zwischen den Gruppen unterscheiden. Ein signifikanter Friedman-Test in der Interventionsgruppe und ein nicht signifikanter Test in der Kontrollgruppe beantworten diese Frage nicht. Dafür benötigen Sie einen direkten Vergleich der Veränderungen oder ein geeignetes Modell für den Gruppenunterschied im Verlauf.

Häufige Fragen