Kruskal-Wallis-Test: Voraussetzungen, Interpretation und Beispiel mit R

Was ist der Kruskal-Wallis-Test?

Der Kruskal-Wallis-Test ist ein nichtparametrischer Rangtest für unabhängige Stichproben. Er wird typischerweise eingesetzt, wenn drei oder mehr Gruppen hinsichtlich einer mindestens ordinalen Zielvariable verglichen werden. Die Zugehörigkeit zur Gruppe ist kategorial. Die beobachteten Werte müssen sich sinnvoll ordnen lassen.

Der Test ist ein Globaltest. Ein kleiner p-Wert liefert Hinweise auf Unterschiede in den Ranglagen der Gruppen. Welche Gruppenpaare sich unterscheiden, geht aus dem Globaltest allein nicht hervor.

Typische Fragestellungen sind:

• Unterscheiden sich die Bewertungen von drei Kundengruppen, die jeweils eine andere Produktvariante getestet haben?
• Unterscheiden sich die Beschwerdescores von Personen aus drei unabhängigen Studiengruppen?
• Weichen die Bearbeitungszeiten zwischen drei Teams voneinander ab, wenn jede Person nur einmal beobachtet wurde?

Wenn dieselben Personen alle drei Produktvarianten bewerten, sind die Messungen verbunden. Für einen einfachen rangbasierten Vergleich solcher Messwiederholungen kommt der Friedman-Test infrage.

Wie funktioniert er?

Für den Kruskal-Wallis-Test werden zunächst alle Beobachtungen über die Gruppen hinweg gemeinsam sortiert. Der kleinste beobachtete Wert erhält Rang 1. Bei gleichen Werten vergibt das Verfahren den Mittelwert der Ränge, die auf diese Beobachtungen entfallen. Anschließend werden die Ränge den ursprünglichen Gruppen zugeordnet und je Gruppe zusammengefasst.

Wenn eine Gruppe häufiger hohe Werte aufweist, fällt ihr mittlerer Rang tendenziell höher aus. Die Teststatistik H fasst zusammen, wie stark die Rangsummen unter Berücksichtigung der Gruppengrößen voneinander abweichen. Bei Rangbindungen wird die Teststatistik entsprechend korrigiert. Für den p-Wert verwendet die Standardausgabe in R eine Chi-Quadrat-Approximation mit k − 1 Freiheitsgraden, wobei k die Anzahl der Gruppen bezeichnet.

Welche Hypothese wird geprüft?

Als Nullhypothese dient bei der üblichen Anwendung die Gleichheit der Gruppenverteilungen. Wenn die Verteilungen dieselbe Form haben und sich allenfalls entlang der Skala verschieben, lässt sich der Test als Vergleich ihrer Lage interpretieren. Unterscheiden sich Form oder Streuung deutlich, ist ein signifikanter Befund allein kein Beleg für unterschiedliche Mediane. Außerdem kann der Test Unterschiede übersehen, die sich kaum in den mittleren Rängen niederschlagen.

Für die Interpretation lohnt sich deshalb ein Blick auf die Rohwerte, die Verteilungen und die Gruppengrößen. Weitere Details zur Implementierung finden Sie in der R-Dokumentation zu kruskal.test().

Welche Voraussetzungen hat er?

1. Unabhängige Beobachtungen: Jede Untersuchungseinheit geht einmal in den Vergleich ein. Bei Messwiederholungen, gepaarten Daten oder geclusterten Beobachtungen, etwa mehreren Personen aus derselben Einrichtung, muss die Abhängigkeit berücksichtigt werden.
2. Mindestens ordinales Skalenniveau: Die Werte müssen sinnvoll in eine Reihenfolge gebracht werden können. Ungeordnete Kategorien wie Wohnort oder Blutgruppe eignen sich als Zielvariable für diesen Test nicht.
3. Vergleichbare Verteilungsformen für eine Lageinterpretation: Wer das Ergebnis als Unterschied der Medianlage interpretieren möchte, sollte prüfen, ob Form und Streuung der Gruppenverteilungen hinreichend ähnlich sind.
4. Geeignete p-Wert-Berechnung: Bei sehr kleinen oder stark unterschiedlich großen Gruppen und vielen Rangbindungen kann die Chi-Quadrat-Approximation ungenau sein. Je nach Design kommt ein exaktes oder ein geeignetes permutationsbasiertes Verfahren infrage.

Eine Normalverteilung wird nicht vorausgesetzt. Ein signifikanter Shapiro-Wilk-Test ist trotzdem kein hinreichender Grund, automatisch vom Mittelwertvergleich zum Rangtest zu wechseln. Wenn die Forschungsfrage ausdrücklich auf Mittelwerte zielt, können je nach Datenlage etwa die Welch-ANOVA oder geeignete robuste Verfahren näher an der Fragestellung liegen.

Kruskal-Wallis-Test in R berechnen

Im fiktiven Beispiel bewerten 24 Personen ein Angebot. Jede Person hat genau eine von drei Varianten getestet. Der Bewertungsscore reicht von 0 bis 30 Punkten. Höhere Werte stehen für eine bessere Bewertung. Wir prüfen, ob sich die Scores zwischen den drei unabhängigen Gruppen systematisch unterscheiden.

1. Daten eingeben und Gruppen beschreiben

daten <- data.frame(
  gruppe = factor(rep(c("A", "B", "C"), each = 8)),
  score = c(
    12, 14, 15, 16, 16, 17, 18, 20,
    16, 18, 19, 20, 20, 21, 22, 24,
    20, 22, 23, 24, 24, 25, 26, 28
  )
)

analyse <- droplevels(daten[complete.cases(daten), ])

table(analyse$gruppe)
nrow(daten) - nrow(analyse)

by(analyse$score, analyse$gruppe, function(x) {
  c(n = length(x), quantile(x, probs = c(0.25, 0.50, 0.75)))
})

boxplot(
  score ~ gruppe, data = analyse,
  xlab = "Variante", ylab = "Bewertungsscore",
  col = c("#DCEAF3", "#A9C9DF", "#6596B9"),
  outline = FALSE
)

stripchart(
  score ~ gruppe, data = analyse,
  vertical = TRUE, method = "jitter", add = TRUE,
  pch = 19, col = "#24445C"
)

Die Mediane zeigen eine Abstufung von A über B zu C. Der Boxplot und die Einzelwerte helfen zu beurteilen, wie stark sich die Gruppen überlappen und ob sich Form oder Streuung unterscheiden. Im Beispieldatensatz fehlen keine Werte. Wenn Sie in einer eigenen Analyse Fälle ausschließen, dokumentieren Sie die Zahl der Ausschlüsse je Gruppe und prüfen Sie, ob ein systematisches Ausfallmuster erkennbar ist.

2. Globaltest durchführen

kw <- kruskal.test(score ~ gruppe, data = analyse)
kw

Das Ergebnis lautet H(2) = 15,82, p < 0,001. In der R-Ausgabe steht die Teststatistik unter Kruskal-Wallis chi-squared. Das Ergebnis liefert Hinweise auf Unterschiede zwischen den Gruppen. Die paarweisen Nachtests zeigen, für welche Vergleiche die Evidenz ausreicht.

3. Eine Effektgröße berechnen

Der p-Wert beantwortet keine Frage nach der Stärke des Gruppenunterschieds. Als ergänzende rangbasierte Effektgröße lässt sich ordinales Epsilon-Quadrat nach der hier verwendeten Formel ε² = H / (N − 1) angeben. N bezeichnet die Zahl der analysierten Beobachtungen.

epsilon2 <- unname(kw$statistic) / (nrow(analyse) - 1)
round(epsilon2, 2)

Im Beispiel beträgt ε² = 0,69. Der Wert bezieht sich auf die Ränge. Für die fachliche Einordnung sollten Sie auch die Verteilungen und die beobachteten Unterschiede in der ursprünglichen Einheit zeigen. Da Software und Lehrtexte unterschiedliche rangbasierte Effektgrößen verwenden, lohnt sich die Angabe der Formel im Methodenteil.

Welche Post-hoc-Tests folgen auf Kruskal-Wallis?

Wenn Sie alle Gruppen paarweise vergleichen möchten, ist der Dunn-Test eine gängige Wahl. Er nutzt die gemeinsame Rangbildung über alle Gruppen. Darin unterscheidet er sich von paarweisen Mann-Whitney-Tests, die die Ränge für jedes Paar neu berechnen. Bei drei Gruppen ergeben sich drei Vergleiche. Mit der Holm-Korrektur kontrollieren Sie das Risiko mindestens eines falsch positiven Befunds innerhalb dieser Testfamilie.

# Falls erforderlich:
# install.packages("dunn.test")

dunn <- dunn.test::dunn.test(
  x = analyse$score,
  g = analyse$gruppe,
  method = "holm",
  altp = TRUE,
  kw = FALSE,
  table = FALSE
)

data.frame(
  Vergleich = dunn$comparisons,
  p_roh = dunn$altP,
  p_holm = dunn$altP.adjusted
)

Mit altp = TRUE gibt das Paket die üblichen zweiseitigen p-Werte aus, die direkt mit dem festgelegten Signifikanzniveau verglichen werden können. Weitere Details erläutert die Dokumentation zu dunn.test. Das ursprüngliche Verfahren beschreibt Olive Jean Dunn in „Multiple Comparisons Using Rank Sums“.

Auf dem 5%-Niveau ist nach Holm-Korrektur nur der Vergleich zwischen A und C signifikant. Die Werte in C liegen im Beispiel höher als in A. Die beiden übrigen Vergleiche liefern nach der Korrektur keine ausreichende Evidenz für Unterschiede. Daraus lässt sich keine Gleichheit der jeweiligen Gruppen ableiten.

Wie berichtet man die Ergebnisse?

Im Methodenteil geben Sie an, welche Gruppen Sie verglichen haben, wie Sie fehlende Werte behandelt haben und welche Nachtests mit welcher Korrektur vorgesehen waren. Im Ergebnisteil berichten Sie die Fallzahlen und deskriptiven Kennwerte je Gruppe, die Teststatistik mit Freiheitsgraden und den p-Wert. Ergänzen Sie bei Bedarf eine klar bezeichnete Effektgröße und die adjustierten p-Werte der Paarvergleiche.

Formulierungsbeispiel für den Ergebnisteil

Die Bewertungsscores unterschieden sich im globalen Vergleich zwischen den drei Varianten, H(2) = 15,82, p < 0,001, ε² = 0,69. Die Mediane für A, B und C lagen bei 16, 20 und 24 Punkten (jeweils n = 8). In den Dunn-Post-hoc-Tests mit Holm-Korrektur lagen die Werte für Variante C höher als für Variante A (p_adj = 0,0002). Die Vergleiche A mit B und B mit C waren statistisch nicht signifikant (jeweils p_adj = 0,0935).

Bei stark unterschiedlichen Verteilungsformen formulieren Sie den Befund als Unterschied der Ranglagen und zeigen die Verteilungen. So bleibt klar, was der Test belegt und welche Unterschiede die deskriptive Auswertung erkennen lässt.

Kruskal-Wallis, Friedman oder ANOVA?

Eine Entscheidung beginnt mit der Frage, welche Beobachtungen voneinander unabhängig sind und welche Größe Sie vergleichen möchten. Wenn Sie zum Beispiel neben der Gruppe auch Alter, Ausgangsschwere oder weitere Einflussgrößen berücksichtigen wollen, ist der einfache Kruskal-Wallis-Test dafür nicht ausgelegt.

Häufige Fragen zum Kruskal-Wallis-Test

Unterstützung bei Gruppenvergleichen und Post-hoc-Tests

Sie vergleichen mehrere Gruppen für eine Abschlussarbeit, Dissertation oder Studie? Ich unterstütze Sie bei der Wahl des Verfahrens, der Umsetzung in R, SPSS oder Stata und der Formulierung für den Ergebnisteil. Für eine erste Einschätzung genügen Ihre Fragestellung, die Zahl der Gruppen und eine kurze Beschreibung der Zielvariable und des Designs.

Frage zur statistischen Auswertung besprechen